Résumé
A unified numerical framework is presented for the modelling of multiphasic viscoelastic and elastic flows. The rheologies considered range from incompressible Newtonian or Oldroyd-B viscoelastic fluids to Neo-Hookean elastic solids. The model is formulated in Eulerian coordinates. The unknowns are the volume fraction of each phase (liquid, viscoelastic or solid), the velocity, pressure and the stress in each phase. A time splitting strategy is applied in order to decouple the advection operators and the diffusion operators. The numerical approximation in space consists of a two-grid method. The advection equations are solved with a method of characteristics on a structured grid of small cells and the diffusion step uses an unstructured coarser finite element mesh. An implicit time scheme is suggested for the time discretisation of the diffusion step. Estimates for the time and space discretisation of a simplified model are presented, which proves unconditional stability. Several numerical experiments are presented, first for the simulation of one phase flows with free surfaces. The implicit time scheme is shown to be more efficient than the explicit one. Then, the model for the deformation of an elastic material is validated for several test cases. Finally, Signorini boundary conditions are implemented and presented for the simulation of the bouncing of an elastic ball. The multiphase model is validated through different test cases. Collisions between Neo-Hookean elastic solids are explored. Simulations of multiple viscoelastic flows are presented: an immersed viscoelastic droplet and a Newtonian fluid in a constricted cavity. The fall of an immersed Neo-Hookean elastic solid into an incompressible Newtonian or viscoelastic fluid is also presented. Finally, the one phase model is extended to compressible flows. The method of characteristics is updated in order to solve the advection equations, when the velocity is not divergence-free. A numerical scheme is proposed and a numerical experiment is presented.
Un modèle numérique unifié est présenté afin de modéliser l’écoulement multiphasique de fluides viscoélastiques et de solides élastiques avec une surface libre. Les différents types de rhéologies comprennent les fluides incompressibles Newtoniens, les fluides viscoélastiques avec un modèle de type Oldroyd-B incompressible et les solides élastiques avec un modèle de type Neo-Hookéen incompressible. Une formulation Eulerienne est utilisée pour la modélisation du problème, où les inconnues sont les fractions de volumes de chaque phase (liquide ou solide), ainsi que la vitesse, la pression et le tenseur de contraintes pour chaque phase. Les termes de transport et de diffusion sont découplés à l’aide d’une méthode à pas fractionnaires (splitting). L’approximation numérique du système d’équations utilise deux maillages. Une méthode des caractéristiques est utilisée pour résoudre les équations de transport sur une grille structurée de petites cellules, tandis que les termes de diffusion sont résolus sur un maillage éléments finis non-structuré plus grossier. Un schéma implicite en temps est proposé pour la discrétisation en temps de l’opérateur de diffusion. Des résultats de stabilité pour la discrétisation en temps puis en espace sont présentés pour un modèle simplifié. Le modèle est validé par différents cas-tests, dans un premier temps en considérant une unique phase. Nous montrons que notre schéma implicite est plus précis que le schéma explicite. Ensuite, le modèle de déformation élastique est validé pour différents cas-tests. Finalement, les conditions de bord de Signorini sont implémentées afin de reproduire le rebond d’une balle élastique. Le modèle multiphase est validé à travers différents cas-tests. La simulation de la collision de deux sphères solides est abordée. L’interaction entre plusieurs fluides viscoélatiques est étudiée pour une simulation d’écoulement d’une goutte de fluide viscoélastique immergée dans un fluide newtonien. La simulation de déformation d’un solide Neo-Hookean immergé dans un fluide incompressible Newtonien ou viscoélastique est aussi présentée. Finalement, le modèle numérique unifié est étendu aux écoulements faiblement compressibles. La méthode des caractéristiques est adaptée afin de résoudre les équations de transport, lorsque la divergence de la vitesse ne vaut plus zéro. Une expérience numérique est présentée.
Un modèle numérique unifié est présenté afin de modéliser l’écoulement multiphasique de fluides viscoélastiques et de solides élastiques avec une surface libre. Les différents types de rhéologies comprennent les fluides incompressibles Newtoniens, les fluides viscoélastiques avec un modèle de type Oldroyd-B incompressible et les solides élastiques avec un modèle de type Neo-Hookéen incompressible. Une formulation Eulerienne est utilisée pour la modélisation du problème, où les inconnues sont les fractions de volumes de chaque phase (liquide ou solide), ainsi que la vitesse, la pression et le tenseur de contraintes pour chaque phase. Les termes de transport et de diffusion sont découplés à l’aide d’une méthode à pas fractionnaires (splitting). L’approximation numérique du système d’équations utilise deux maillages. Une méthode des caractéristiques est utilisée pour résoudre les équations de transport sur une grille structurée de petites cellules, tandis que les termes de diffusion sont résolus sur un maillage éléments finis non-structuré plus grossier. Un schéma implicite en temps est proposé pour la discrétisation en temps de l’opérateur de diffusion. Des résultats de stabilité pour la discrétisation en temps puis en espace sont présentés pour un modèle simplifié. Le modèle est validé par différents cas-tests, dans un premier temps en considérant une unique phase. Nous montrons que notre schéma implicite est plus précis que le schéma explicite. Ensuite, le modèle de déformation élastique est validé pour différents cas-tests. Finalement, les conditions de bord de Signorini sont implémentées afin de reproduire le rebond d’une balle élastique. Le modèle multiphase est validé à travers différents cas-tests. La simulation de la collision de deux sphères solides est abordée. L’interaction entre plusieurs fluides viscoélatiques est étudiée pour une simulation d’écoulement d’une goutte de fluide viscoélastique immergée dans un fluide newtonien. La simulation de déformation d’un solide Neo-Hookean immergé dans un fluide incompressible Newtonien ou viscoélastique est aussi présentée. Finalement, le modèle numérique unifié est étendu aux écoulements faiblement compressibles. La méthode des caractéristiques est adaptée afin de résoudre les équations de transport, lorsque la divergence de la vitesse ne vaut plus zéro. Une expérience numérique est présentée.